Hỗn độn là một phần của cuộc sống con người và mãi mãi là thế. Các tác giả cổ xưa đã từng viết về nó. Thực sự nó rất khó kiểm soát theo cách hiểu nào đó, dường như nó cực kỳ phức tạp, nhưng Mandlefort tìm thấy những dấu hiệu trật tự rất rõ ràng trong mớ hỗn độn này và khám phá một ngành toán học mới: Hình học phân dạng hay Fractal Geometry. Đây là một thuật ngữ do nhà Toán học Mandelbrot đưa ra khi ông khảo sát những hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có đặc trưng về độ dài. Ông nói: “Các đám mây không phải là hình cầu, các ngọn núi không phải là hình nón”. Theo ông, Fractal (trong bài nầy xin dùng từ tiếng Anh "Fractal") là chỉ những đối tượng hình học có hình dáng ghồ ghề, không trơn nhẵn trong thiên nhiên. Cụ thể đó là những vật thể có tính đối xứng sắp xếp trong một phạm vi nhất định, có nghĩa là khi ta chia một vật thể fractal, với hình dáng ghồ ghề, gãy góc ra thành những phần nhỏ thì nó vẫn có được đặc tính đối xứng trong một cấu trúc tưởng như hỗn độn. Hình dáng các đám mây, đường đi của các tia chớp là những ví dụ mà ta dễ nhìn thấy được. Vài thí dụ khác: Dạng thức tạo bởi những viên sỏi lộn xộn trong cảnh băng giá, trồi trên mặt đất, lốm đốm với rêu mốc. Cây mọc ngoài cánh đồng trống, cành và nhánh ngổn ngang tình cờ. Những con chim én tán loạn, giống như một nắm bụi được ném ra, nổi lên tiếng líu lo huyên náo, rồi tụ tập lại, bay nhập vào bầy đoàn có tổ chức. Ánh chớp nhoáng, đứt đoạn trên nền trời.


Hình xoắn của cây lô hội trong thiên nhiên

Trong thiên nhiên, hầu hết mọi người đều thấy đầy sự ngẫu nhiên vô cùng thú vị. Đó là điều bình thường, nhưng chúng có một trật tự rõ nét, đôi khi rất thần bí đối với những hình dạng biến đổi của làn sóng vỡ, lũ chim én trong buổi chiều mùa hạ, hoặc thời tiết... Nhiều thế kỷ qua, những nhà khoa học không để ý tới những trật tự thường tình như vậy. Nhưng các hiện tượng thiên nhiên phức tạp như thời tiết không thể tháo rời, tẩy đi, và nghiên cứu, học hỏi dưới ống kính của phòng thí nghiệm. Một cái cây đơn lẻ là kết quả của loạt chuyển đổi những tình huống duy nhất và rộng lớn, với những ảnh hưởng như trọng lực, từ trường, cấu tạo của đất, gió, góc cạnh mặt trời, lũ côn trùng, mùa thu hoạch, và cây cối. Một làn sóng lẻ loi đập vào bờ biển, được duy trì bởi một hệ thống “động lực” hoặc những lực hoạt động liên tục, khó có thể xác định từng chi tiết.
Làn sóng và cây cối là những hệ thống động lực, mà trạng thái thay đổi qua thời gian. Những hệ thống như vậy thường đa diện, phức tạp, và tương thuộc. Chúng đẩy và kéo lẫn nhau ngay tức thời, tạo nên sự bất quy tắc nhạy bén, không thể đoán trước. Theo quan điểm khoa học, sự bất qui tắc như thế từ lâu được coi đơn thuần như sự hỗn độn làm lu mờ quy cách cơ học của khoa học, vận hành bên dưới. Về mặt lý thuyết, các nhà khoa học tin rằng, sự hỗn độn đó có thể làm sáng tỏ và tiên đoán chính xác trạng thái vận hành, nếu thu thập đầy đủ thông tin để xác định các sự nối kết hổ tương giữa nguyên nhân và hậu quả. Qua đó, hầu như mọi người đều không hiểu rõ, rất nhiều giả thiết quan trọng về thiên nhiên đã bị đúc khuôn bởi ý tưởng khoa học cổ điển.


Đối xứng trong lá cây dương xỉ

Trong huyền thoại và truyền thuyết, hầu hết mọi nền văn hóa đều quay cuồng với ý tưởng lưỡng tính có từ ban sơ: trật tự và hỗn mang. Trong truyền thống Thiên chúa, Chúa được diễn tả như mang ánh sáng (trật tự), làm thay đổi diện mạo của thâm sâu (hỗn mang). Người Babylon cổ đại kể về người anh hùng huyền thoại, Marduk, quay tròn Tiamat, và biến người mẹ bất hòa điệu của tất cả, thành trật tự của trời và đất. Ở Ấn độ, Siva, cha của trật tự trên trời, ẩn trốn một cách ngược đời trong chỗ hỗn mang khủng khiếp như những bãi chiến trường, đốt cháy nền tảng của cái chết. Trong truyền thống cổ đại Trung hoa, hiện thực hàng ngày được tạo và tái tạo bởi sự đắp đổi giữa ánh sáng mang vào, nguyên tắc trật tự - dương, và bóng tối, tràn đầy trong vật chất - âm. Hy lạp cổ đại tách Apollo lý trí, chống lại Dionysius dâm dục và hỗn mang. Người Iroquois ở Bắc Mỹ tu luyện tinh thần giống như Dionysius, gagonsa hay mặt giả – đeo chiếc mặt nạ vặn vẹo kinh khủng thể hiện tâm thần và sự hỗn loạn vật lý. Nhiều bộ lạc trên thế giới bao gồm các nhân vật lừa đảo giữa những thần linh, cắt xén trật tự, thể hiện sự dối trá và châm biến liên tục thực tại.
Trong thế kỷ 20, những khả năng thần diệu của khoa học đem đến cho mọi người các am hiểu và chế ngự môi trường vật lý bao quanh. Tiến bộ kỹ thuật làm người ta tin rằng những gì khoa học không biết bây giờ về thiên nhiên, sẽ biết vào một ngày nào đó trong tương lai. Như vậy, ngay cả sự vận hành của hệ thống động lực phức tạp cao độ cũng phải nhường cho những công thức và máy tính của nhà khoa học.

Lâu nay người ta thường nghĩ toán học chỉ gồm những con số, những phương trình khô khan hoặc những hình vẽ cứng nhắc cơ bản là những hình phẳng hoặc những hình khối của hình học Euclid. Với hình học phân dạng người ta có dịp thưởng thức những hình ảnh đẹp tuyệt vời, có khi có thật trong thiên nhiên, mà cũng có khi là sản phẩm trí tuệ của con người và của máy tính.


Hình fractal được tạo qua máy vi tính

Một hình phân dạng là một hình “gai góc lởm chởm (rough)” hoặc một hình có một dạng hình học nào đó, có thể được chia ra thành nhiều mảnh nhỏ, mỗi mảnh nhỏ - dầu ở kích cỡ nào – đều đồng dạng (hoặc gần như đồng dạng) với toàn thể hình. Trước đó, các cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là "đường cong của quỷ" (Devil's Curve).
Một hình phân dạng thường có những tính chất sau đây:
1. Có cấu trúc rất tinh tế ở bất cứ kích cỡ nào. Mỗi thành phần của hình thì đồng dạng với toàn thể hình (tính chất tự đồng dạng).
2. Có hình dạng rất bất thường, phức tạp, mà hình học Euclid thông thường không dễ dàng mô tả được.
3. Có thể được tạo dựng bởi phép truy hồi (recursive) hay phép lặp lại (iteration) từ một hình đơn giản.
4. Có số chiều không phải là số nguyên (non-integer dimension, fractional dimension).
Trong số những tính chất của một hình phân dạng, chúng ta hãy chú ý đến hai tính chất quan trọng nhất, đó là tính tự đồng dạng và số chiều không phải là số nguyên
Có hai cách chính để tạo ra một hình phân dạng: cách lặp lại (truy hồi) và cách phát sinh từ số phức Julia-Mandelbrot.
Có thể hình dung cấu trúc fractal qua một ví dụ điển hình. Lấy một tam giác đều có cạnh là đơn vị độ dài. Chu vi của nó sẽ là 3. Giữa các cạnh, dựng tiếp 3 tam giác đều nhỏ, có cạnh là 1/3. Chu vi hình thu được sẽ là (3 x 4/3). Tiếp tục quá trình đó mãi, sẽ thu được một hình giống bông tuyết với chu vi (3 x 4/3 x 4/3 x 4/3 x …), tức bằng vô hạn. Đó là bông tuyết hay đường cong Koch. Thú vị là diện tích của bông tuyết có chu vi vô hạn đó lại hữu hạn, vì nó không thể vượt quá vòng tròn ngoại tiếp tam giác ban đầu! Vì thế người ta nói fractal chính là cách thấy cái vô hạn trong cái hữu hạn. Và chỉ bằng cách lặp đi lặp lại một cấu trúc đơn giản, cũng có thể thu được một cấu trúc có độ phức tạp tùy ý, nếu biết rằng hình học fractal mô tả không chỉ bông tuyết, mà còn hình dáng bờ biển, sự phân bố các thiên hà, cấu trúc bề mặt kim loại, hệ cành cây, gờ lá cây, cấu trúc hệ tuần hoàn, hệ hô hấp… Nhiều nhà sinh học lý thuyết giả định, các cấu trúc sinh học đều tuân theo qui luật fractal.


Bông tuyết Koch

Cầm một chiếc lá soi lên nắng chúng ta sẽ thấy gân lá hình fractal. Nhìn tổng thể chúng ta thấy các gân lá phụ chạy từ gân lá chính. Nhìn kỹ gân lá phụ, ta lại thấy các gân lá nhỏ hơn chạy từ các gân lá phụ một cách tương tự. Cứ thế mà hình thành nên lưới gân lá. Đó chính là hình fractal gân lá. Nói đơn giản thì Fractal là kiểu cấu trúc hệ thống mà ở các tiểu hệ, ở mức chi tiết hơn, ta lại tìm thấy sự nhất quán của hệ thống trong biến đổi.
Những khám phá mới trong khoa học và toán học qua các nghiên cứu về sự hỗn độn (Chaos), lặp lại các mô hình cơ bản, nhưng với vô số các biến thể và hình dạng, hé lộ một trật tự fractal ẩn dưới tất cả các sự kiện, dường như trong hỗn độn có những fractal phức tạp và tuyệt đẹp.
Tóm lại, quan niệm fractal là cách thức mô tả, tính toán và suy tư về các vật thể không đều đặn, xù xì, gồ ghề và đứt gãy mà ta vẫn gặp trong tự nhiên, từ bề mặt của bông tuyết tới phân bố không liên tục của các thiên hà. Đó là những hình dạng mà hình học phẳng Euclid (cơ sở của vật lý Newton) hay hình học cong Riemann (cơ sở của vật lý Einstein) không thể mô tả chính xác. Đường cong fractal biểu lộ một cấu trúc có tổ chức ẩn chìm trong những hình dạng phi tổ chức. Đó là trật tự trong hỗn loạn. Và hình học fractal có thể cung cấp một công cụ để các nhà vật lý, hóa học, địa chấn học, luyện kim, sinh lý học… khám phá tự nhiên. Với họ, hình học mới của Mandelbrot chính là hình học của tự nhiên.
Nhưng tại sao fractal lại là hình học của tự nhiên? Tự nhiên luôn hoạt động một cách giản dị, tiết kiệm và hiệu quả. Cách thức càng giản dị càng tốt. Chi phí thì tối thiểu mà kết quả phải tối đa. Hình học fractal dựa trên một quy cách không thể đơn giản hơn, đó là tự đồng dạng. Nó tiết kiệm và hiệu quả, khi có thể thu được cái vô hạn từ cái hữu hạn, như với bông tuyết Koch, tất nhiên là trên lý thuyết. Trên thực tế, chính nhờ nguyên lý phân nhánh kiểu fractal mà các phế nang trong phổi có diện tích trao đổi khí lớn bằng một sân tennis mà chỉ tốn một thể tích rất khiêm tốn trong lồng ngực. Các cấu trúc sinh học khác cũng đạt hiệu quả cao tương tự nhờ cách tổ chức tự đồng dạng fractal. Có thể tự nhiên còn nhiều dạng hình học khác mà con người chưa biết, nhưng hiện tại thì hình học fractal chính là ngôi sao dẫn đường, ít nhất là về mặt triết lý.
Về mặt toán học, tại sao lại cần hình học fractal? Vì các độ đo của hình học Euclid - độ dài, chiều rộng, bề sâu - không mô tả được các cấu trúc xù xì, gồ ghề, phức tạp, không đều. Mandelbrot dùng một ý tưởng khác là chiều hay thứ nguyên. Chúng ta sống trong thế giới ba chiều, nơi một khối thể tích có ba chiều, mặt phẳng có hai chiều, đường thẳng có một chiều, còn một điểm có zero chiều. Tuy nhiên, trên thực tế các thực thể không có hình dạng lý tưởng như vậy, nên việc xác định số chiều của chúng nhiều khi rất phức tạp. Cùng là một vật mà thứ nguyên lại thay đổi tùy thuộc vào người quan sát, đó là ý niệm không toán học cho lắm, nhưng lại rất giầu tính vật lý và tính triết học.

Fractal có thể giúp thiết kế các hình ảnh đẹp trên máy tính một cách đơn giản và trực quan. Đây là một trong những lĩnh vực được nhiều người quan tâm, nhất là đối với những người yêu mến nghệ thuật.
Các nhà khoa học cũng tìm ra các mối quan hệ giữa phân dạng các hình dạng tế bào, quá trình trao đổi chất của cơ thể người, AND, nhịp tim, … Trước đây, các nhà sinh học quan niệm lượng chất trao đổi phụ thuộc vào khối lượng cơ thể người, nghĩa là nó tỉ lệ bậc 3 khi xem xét con người là một đối tượng 3 chiều. Nhưng với góc nhìn từ hình học phân dạng, người ta cho rằng sẽ chính xác hơn nếu xem con người là một mặt phân dạng với số chiều xấp xỉ 2.5, như vậy tỉ lệ đó không nguyên nữa mà là một số hữu tỷ.
Việc chẩn đoán bệnh áp dụng hình học phân dạng đã có những tiến bộ rõ rệt. Bằng cách quan sát hình dạng của các tế bào theo quan điểm phân dạng, người ta đã tìm ra các bệnh lý của con người, tuy nhiên những lĩnh vực này vẫn còn mới mẻ, cần phải được tiếp tục nghiên cứu.
Hình học Phân dạng được sử dụng trong việc khảo sát các hợp chất cao phân tử. Tính đa dạng về cấu trúc polymer thể hiện sự phong phú về các đặc tính của hợp chất cao phân tử chính là các phân dạng. Hình dạng vô định hình, đường bẻ gãy, chuỗi, sự tiếp xúc của bề mặt polyme với không khí… đều có liên quan đến các phân dạng. Sự chuyển động của các phân tử, nguyên tử trong hợp chất, dung dịch, các quá trình tương tác gần giữa các chất với nhau,… đều có thể xem như một hệ động lực hỗn độn (chaos).
Trong vật lý, khi nghiên cứu các hệ cơ học có năng lượng tiêu hao (chẳng hạn như có lực ma sát) người ta cũng nhận thấy trạng thái của các hệ đó khó xác định trước được và hình ảnh hình học của chúng là các đối tượng phân dạng. Các nhà khoa học đã tiến hành xem xét lại các quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời cũng như trong các hệ thiên hà khác. Một số kết quả cho thấy không phải các hành tinh này quay theo một quỹ đạo ellipse như trong hình học Euclid mà nó chuyển động theo các đường phân dạng. Quỹ đạo của nó được mô phỏng bằng những quỹ đạo của các sức hút "lạ".
Mô tả sự biến động của giá cả trên thị trường chứng khoán bằng các đồ hình phân dạng sẽ cho phép chúng ta theo dõi sự biến động của giá cả. Trên cơ sở đó dự báo giá cả trên thị trường dựa theo các luật của hình học phân dạng.


Fractal chụp qua ống kính viễn vọng

Quan niệm fractal giúp bản thân có được sự hư tĩnh để chứng kiến mọi sự chuyển động, xoay vần của đời sống . Điều đó xuất phát từ cách hiểu fractal: “Đó là quan niệm hình học chỉ một khối hỗn độn trên cùng một không gian gồm những đường không rõ đường, mặt không rõ mặt, khối không rõ khối, hàng nghìn, hàng triệu đơn vị tập hợp lại gây cảm giác vừa tỏ vừa mờ, vừa thật vừa ảo. Vẻ đẹp fractal là thế. Đó là vẻ đẹp của chính sự sống mà văn chương, nghệ thuật cố giành giật, chiếm giữ.
Có thể áp dụng kiến ​​thức mới này để hiểu rõ hơn về cuộc sống của chúng ta, sống tự lập, tự do và liên hệ với Vũ Trụ - Vô Hạn. Những khám phá nầy có thể giúp chúng ta nhìn và hiểu vẻ đẹp và ý nghĩa sự hỗn độn. Những fractal này nằm trong không gian, nhưng nay được thể hiện bằng đồ hoạ, và cũng tồn tại trong thời gian, như thể hiện trong mọi sự sống, kể cả đời sống của chính chúng ta. Chúng ta được sinh ra và chết, chúng ta thức dậy và ngủ thiếp, mặt trời mọc và lặn, chúng ta thở vào và ra. Có những mô hình cơ bản và cấu trúc để thời gian và không gian cung cấp sự gắn kết thống nhất.
Hai khám phá khoa học: tình trạng bất định trong lý thuyết hỗn độn và hình học fractal tạo ra lý thuyết "tính bất định nền tảng" mà định lý Goel tìm thấy ẩn trong toán học. Tất cả cho chúng ta thấy đằng sau màn che của thiên nhiên , có một trật tự vi tế, luôn luôn vượt ra ngoài tầm hiểu biết của chúng ta.
Theo thuyết hỗn độn, hệ thống động lực không vận hành trong cô lập. Nhìn hai chiếc lá thu rơi song song trên con suối. Giòng suối, với những chiếc lá, đá, nhánh cây, khúc quanh, sức ép của nước, là một hệ thống động lực phức tạp, chảy quanh co qua rừng cây: thẳng, đang lặng lờ đột nhiên gặp dòng thác xoắn, vắt lại, tung tóe trên kè đá rồi bị những cành nhánh ngăn lại, tiếp tục êm đềm trôi. Hai chiếc lá rơi, trong khoảnh khắc, kéo lại gần nhau, cuộn tròn, nối đôi chung quanh cơn xoáy. Tuy nhiên, không lâu, vị trí hai chiếc lá thay đổi nhẹ nhàng, tách ra bởi sự chuyển động của dòng nước, và bắt đầu rời xa. Sau một vòng xoáy khác, một chiếc đong đưa, lướt qua bờ rìa những nhánh cây, xuôi theo dòng chảy; còn chiếc khác quay tròn chậm chạp và mắc vào một nhánh cây nhỏ, nước đẩy ngược, cuốn như một giải băng mỏng, tối và rồi đổi chiều, nương theo một lối nhỏ, nhập vào dòng nước. Tất cả đều có một động lực ẩn tàng bên trong.
Nghệ sĩ luôn luôn tận dụng và đánh giá những gì gọi là “trật tự trong bất định.” Nhà thơ lãng mạn Anh John Keats ca ngợi những gì ông gọi là “khả năng thụ động,” khả năng hình thành “trong bất định, bí ẩn, và hồ nghi.” Leonardo da Vinci nói, “họa sĩ không hoài nghi, sẽ rất ít thành đạt,” và ông khuyên những nghệ sĩ lớp sau tìm sự hứng khởi cho tác phẩm trong những vết màu trên tường. Từ muôn đời, trong hoài nghi, bất định và ngẫu nhiên của đời sống, những nghệ sĩ đã khám phá sự hài hòa trong mọi hiện hữu. Nghệ thuật luôn luôn có cái gì khác hơn những gì có thể bắt gặp bằng mắt, trí tuệ hay tai nghe. Bởi vì khả năng này gợi ra một thế giới trong những thế giới, nghệ thuật luôn luôn phân dạng. Khoa học về hỗn độn giúp định nghĩa thẩm mỹ một cách mới mẻ, nằm dưới đáy những ý tưởng thay đổi nghệ thuật của từng thời kỳ khác nhau, văn hóa và trường phái.


Hình fractal một vi sinh vật qua kính hiển vi

Cấu trúc đơn giản có thể diễn tiến rất phức tạp và các diễn tiến phức tạp có thể chỉ là kết quả của những nguyên nhân rất đơn giản. Cấu trúc fractal của bông tuyết Koch là minh họa điển hình cho hai nhận định đó, khi nó giúp thu được cái vô hạn trong cái hữu hạn bằng một quy cách khó có thể đơn giản hơn. Và quan trọng hơn hết, các quy luật về tính phức tạp có tính vạn năng, không phụ thuộc vào bản chất vật chất của các đối tượng khảo sát. Không có gì lạ khi ta thường nghe giải thích những chiêm nghiệm như “vũ trụ hài hòa và thống nhất”, hay “con người là tiểu vũ trụ”… Điều đó giúp chúng ta “thấy thế giới trong một hạt cát”, như nhà thơ Scotland Blake đã viết từ cách đây mấy thế kỷ.
Đối với nghệ thuật, dù cấu trúc bên ngoài có thể rất đơn giản, hình trạng bên trong của các tác phẩm nghệ thuật không hề đơn giản. Chỉ vài câu chữ “thông thường”, nhiều khi lặp đi lặp lại, mà hàng triệu con tim rớm lệ, điều đó có lẽ chỉ có thi ca mới làm được. Đạt tới cái vô hạn chỉ bằng cái hữu hạn, phải chăng văn chương nghệ thuật cũng có những cấu trúc fractal giản dị nhưng lại rất huyền bí trong chính mình?
Mặt khác, lý thuyết hỗn độn cũng cho thấy, những hệ thống rất phức tạp cũng có thể có hành trạng đơn giản, miễn là ta tìm được cái trật tự ẩn tàng trong cái hỗn loạn, như bông tuyết kỳ diệu ẩn giấu một quy luật fractal giản dị. Có lẽ các bức tranh hậu hiện đại khó hiểu chỉ vì ta chưa tìm được cái cấu trúc nội tại hàm súc của chúng? Tương tự như thế, ở thơ cách tân, một mặt nó thu được cái phức tạp (ở đây là sự mã hóa khó nắm bắt) cũng chỉ bằng những câu chữ giản dị vẫn dùng hàng ngày (cái phức tạp từ cái đơn giản); mặt khác trong cái hình thù xù xì, gồ ghề, không điều hòa và gẫy góc, những bài thơ thành công vẫn ẩn giấu một cấu trúc trật tự bên trong mà người đọc phải đi tìm (trật tự trong hỗn độn). Cuối cùng, biểu hiện cái vô hạn trong cái hữu hạn, ẩn tàng cái trật tự trong cái hỗn độn, đó là quy luật vạn năng của mọi loại hình nghệ thuật. Điều đó khiến nghệ thuật trở thành một lĩnh vực đòi hỏi một tấm lòng rộng mở và cái nhìn tinh tế trong số các hoạt động văn hóa của con người. Chỉ như thế thì nghệ thuật mới có thể tự do vươn tới các đỉnh cao.


Hình fractal được phóng to